BANDUL SEDERHANA

BANDUL SEDERHANA

 PENGERTIAN

Gerak Harmonik Sederhana (GHS) adalah gerak periodik dengan lintasan yang ditempuh selalu sama (tetap). Gerak Harmonik Sederhana mempunyai persamaan gerak dalam bentuk sinusoidal dan digunakan untuk menganalisis suatu gerak periodik tertentu. Gerak periodik adalah gerak berulang atau berosilasi melalui titik setimbang dalam interval waktu tetap.

Gerak Harmonik Sederhana dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu :

a) Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Linier, misalnya penghisap dalam silinder gas, gerak osilasi air raksa / air dalam pipa U, gerak horizontal / vertikal dari pegas, dan sebagainya.

b) Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Angular, misalnya gerak bandul/ bandul fisis, osilasi ayunan torsi, dan sebagainya.

BEBERAPA CONTOH GERAK HARMONIK

a) Gerak harmonik pada bandul

Sebuah bandul adalah massa (m) yang digantungkan pada salah satu ujung tali dengan panjang l dan membuat simpangan dengan sudut kecil. Gaya yang menyebabkan bandul ke posisi kesetimbangan dinamakan gaya pemulih yaitu dan panjang busur adalah Kesetimbangan gayanya. Bila amplitudo getaran tidak kecil namun tidak harmonik sederhana sehingga periode mengalami ketergantungan pada amplitudo dan dinyatakan dalam amplitudo sudut.

b) Gerak harmonik pada pegas

Sistem pegas adalah sebuah pegas dengan konstanta pegas (k) dan diberi massa pada ujungnya dan diberi simpangan sehingga membentuk gerak harmonik. Gaya yang berpengaruh pada sistem pegas adalah gaya Hooke.

c) Gerak Harmonik Teredam

Secara umum gerak osilasi sebenarnya teredam. Energi mekanik terdisipasi (berkurang) karena adanya gaya gesek. Maka jika dibiarkan, osilasi akan berhenti, yang artinya GHS-nya teredam. Gaya gesekan biasanya dinyatakan sebagai arah berlawanan dan b adalah konstanta menyatakan besarnya redaman. dimana A = amplitudo dan f = frekuensi angular pada GHS teredam.

d) Gerak harmonik pada bandul

Gambar Ayunan Bandul Sederhana

Bandul sederhana terdiri atas benda bermassa m yang diikat dengan seutas tali ringan yang panjangnya l (massa tali diabaikan). Jika bandul berayun, tali akan membentuk sudut sebesar α terhadap arah vertical. Jika sudut α terlalu kecil, gerak bandul tersebut akan memenuhi persamaan gerak harmonic sederhana seperti gerak massa pada pegas.

Kita tinjau gaya-gaya pada massa m. dalam arah vertical, massa m dipengaruhi oleh gaya beratnya yaitu sebesar w = mg. gaya berat tersebut memiliki komponen sumbu x sebesar mg sin α dan komponen sumbu y sebesar mg cos α.

Gaya dalam arah sumbu x merupakan gaya pemulih, yaitu gaya yang selalu menuju titik keseimbangan. Arah gaya tersebut berlawanan arah dengan simpangan, sehingga dapat ditulis :

Dalam arah sumbu y, komponen gaya berat diimbangi oleh tegangan tali T sehingga gaya dalam arah sumbu y bernilai nol

Jika sudut α cukup kecil, maka nilai sinus tersebut mendekati dengan nilai sudutnya, sin α ≈ α. Sehingga hubungan antara panjang busur x dengan sudut teta dinyatakan dengan persamaan :

x = L sin α atau α = x / L ................................(1)

(ingat bahwa sudut teta adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r) jika dinyatakan dalam satuan radian. Karena lintasan pendulum berupa lingkaran maka kita menggunakan pendekatan ini untuk menentukan besar simpangannya. Jari-jari lingkaran pada kasus ini adalah panjang tali L).

Jika massa m menyimpang sejauh x dari titik seimbang, maka massa tersebut akan mengalami gaya pemulih sebesar :

F = mg sin α ≈ mg α = x ................................. (2)

Gaya pemulih tersebut sebanding dengan simpangan, seperti pada gerak harmonic sederhana. Sekarang kita akan membandingkan gaya pemulih untuk massa pada pegas dan gaya pemulih untuk system bandul sederhana.

Pada pegas berlaku F = kx, sedangkan pada bandul berlaku F = x. harga pada bandul adalah tetap sehingga dapat dianalogikan dengan tetapan pegas (k).

Secara umum persamaan simpangan dari getaran selaras dapat dirumuskan :

X = A sin ωt ......................................................(3)

Dengan ω = kecepatan sudut dan t = waktu.

Turunan kedua terhadap waktu dari persamaan diatas menghasilkan :

dx²/dt² = - ωA² sin ωt = -ω².............................(4)

Gerakan massa (M) terbatasi atau ditentukan oleh panjang pendulum (L), dan persamaan gerak yang berlaku adalah :

dθ² / dt² = -mg sin θ ..........................................(5)

Dimana dalam hal ini kecepatan beban sepanjang lintasan yang berupa busur lingkaran adalah V(t) = L θ(t). Faktor sin θ merupakan komponen yang searah dengan gravitasi dari gaya yang bekerja pada beban dalam arah θ.

Selanjutnya dengan membuang M dari kedua sisi persamaan sebelumnya diperoleh bentuk d²θ/ dt² + g/L sin θ= 0 yang merupakan persamaan differensial tak linear untuk θ.

Jika dianggap simpangan awal ayunan cukup kecil |θ| ≪ 1 ( rad ), maka berlaku sin θ = θ sehingga persamaan dapat diubah menjadi bentuk linear sebagai berikut:

d²θ/ dt² + g/L θ= 0.............................................(6)